5.1 MUESTREO

Las señales digitales presentan grandes ventajas a la hora de ser transmitidas y/o procesadas: mayor inmunidad al ruido, mayor facilidad de procesamiento y facilidad de multiplexaje son las mas resaltantes. Es por esto que existe interés en convertir señales analógicas (tiempo y amplitud continuos) en señales digitales (tiempo y amplitud discretos). El primer paso consistirá en discretizar la señal en tiempo. Este proceso se llama muestreo, Analizaremos diversas formas de muestreo.

2. Muestreo Ideal: Teorema del muestreo

Suponga una señal x(t) cuya transformada X(f) tiene la siguiente forma:
 




Por ejemplo las señales de voz para telefonía básica tienen fmax=4KHz, la voz en general puede alcanzar fmax=20KHz, para audio se toma fmax=30KHz y para las señales de video fmax=6MHz.

Se pueden tomar muestras de la señal multiplicándola por un tren de impulsos periódicos de periodo ts, tal y como se muestra en la figura. A esto se le llama muestreo ideal.

Es decir:

xs(t) = x(t) . ds(t)

En el dominio de la frecuencia se tendrá que:

Por lo tanto, llamando fs al inverso de ts, se tendrá que:

La convolución de una función cualquiera con una delta reproduce a la función en el punto donde ocurre la delta y así

de manera que el espectro de la señal muestreada será el siguiente:

El espectro de la señal original se repite cada fs. Si quisiéramos rescatar la señal original, bastaría utilizar un filtro pasabajo (LPF) ideal pero esto siempre y cuando
 


o sea que

fs * 2fmax

La frecuencia mínima de muestreo sería fs = 2fmax muestras por segundo, y se conoce como la frecuencia de Nyquist. Si se muestrea a una frecuencia inferior a la de Nyquist los espectros de la señal muestreada se solaparán y no se podrá recuperar el mensaje original. Este efecto se le llama "aliasing". Cuando la señal tiene impulsos en los extremos de su espectro, es necesario muestrear a una frecuencia superior a 2fmax. (Demuéstrelo).

El mensaje original puede recuperarse mediante un filtro pasabajo ideal cuya frecuencia de corte sea fmax. La salida de este filtro, en el dominio de la frecuencia, será:

Y(f) = Xs(f) . KP(f/2fmax)= X(f) En el dominio del tiempo el producto se cambia por la convolución:

La respuesta al impulso de un filtro pasabajo ideal como el descrito sería

h(t) = 2Kfmax Sinc(2fmaxt)

Por lo tanto

Cuando fs = 2fmax

Es decir, se suman infinitos Sincâs con pesos iguales a cada muestra x(nts) y esto reproduce a la señal x(t). Esta es la llamada fórmula de interpolación. Observe que se necesitan todas las muestras para obtener x(t). En la práctica solo se tendrá un número finito de muestras, por lo tanto existirá un error llamado error de truncamiento.

En la práctica no se puede realizar este tipo de muestreo ideal ya que es imposible "fabricar" un tren de impulsos periódicos. Una solución sería usar cualquier señal periódica de forma que la señal muestreada xM(t) vendría dada por:

Donde se ha sustituído la expresión de la señal periódica por la de su serie de Fourier. En el dominio de la frecuencia, la señal periódica se representa por un tren de impulsos con peso Cn, de manera que el espectro de la señal muestreada será la repetición del espectro de X(f) cada fs multiplicado por Cn.

Cuando la señal periódica es un tren de pulsos el muestreo se le llama muestreo natural. La señal en tiempo luciría como sigue:

El espectro en cambio seria

En este caso la señal x(t), al igual que en muestreo ideal, se puede recuperar con un filtro pasabajo.

En la practica se prefiere otro tipo de muestreo, el llamado muestreo tope plano en el cual se toma una muestra de la señal cada ts y se mantiene durante un tiempo t. La señal luciría como sigue:

Sus ventajas son las siguientes:

Es mas fácil de realizar con circuitos llamados Sample&Hold

Es mas inmune al ruido

No importa la forma de los pulsos

La desventaja mas resaltante es que el espectro de la señal muestreada esta conformado por repeticiones distorsionadas del espectro de la señal original, tal y como demostraremos a continuación.

La senal muestreada tope-plano puede expresarse de la siguiente forma:


Se observa que se introduce distorsión. Para disminuirla se debería disminuir el valor de t, pero esto también disminuye la amplitud de la señal. Lo que se estila es usar un t intermedio y luego en el receptor se compensa con una red de respuesta en frecuencia inversa en la banda de la señal original.

MUESTREO DE SEÑALES PASABANDA

Suponga x(t) tal que X(f) sea:

Definamos


Siempre que B(ancho de banda de la señal) sea menor que fL, es posible muestrear a una frecuencia menor que la que impondría Nyquist siempre que se garantice que las repeticiones espectrales no se superponen con el espectro X(f), es decir:

Para que no exista solapamiento, de forma que x(t) pueda ser rescatado con un filtro pasabanda, se debe cumplir que:


 
 

La situacion entonces es la siguiente:

Dado el espectro X(f), se obtiene fL y fM, y por ende B y k. Con esto se definen los posibles valores de N y finalmente esto delimita los posibles valores de la frecuencia de muestreo.

Ejemplo:

Suponga que X(f) es tiene la forma pasabanda ilustrada antes con

fL=3000 Hz

fM =4000 Hz

Por lo tanto B=1000 Hz

De esta forma k=4 y N puede tomar los siguientes valores 1,2,3 y 4

Al aplicar la ecuacion que define el rango de valores de fs

por lo tanto en este caso se puede muestrear a 2KHz (que es menor que Nyquist que es 8KHz))y recuperar la senal con un filtro pasabanda.

Observe que mientras quepan mas repeticiones entre 0 y fL es posible bajar cada vez mas la frecuencia de muestreo.