5.2. CUANTIFICACION

Luego de muestrear la señal analógica, con lo cual hemos discretizado la señal en tiempo, es necesario discretizar la señal en amplitud; este proceso se llama cuantificación. Básicamente esto se lleva a cabo de la siguiente manera: Se divide el rango total de la señal en M franjas de tamaño a. M es el numero de niveles de cuantificación y a es llamado el paso del cuantificador. En cada intervalo de tiempo se observa en que rango de voltaje se encuentra la señal y en función de esto se le asigna un nivel de voltaje a la salida tal y como se ilustra a continuación:

A la salida se tiene una señal con un numero de amplitudes diferentes limitadas (M amplitudes diferentes)

La característica de un cuantificador se representa por medio de una curva entrada-salida que podría ser como sigue:

En particular el cuantificador mostrado en la figura es uniforme debido a que los pasos del mismo son todos del mismo tamaño. Existen también los no-uniformes. Otra forma de clasificarlos es si la característica es fija o cambia en el tiempo(cuantificadores fijos y adpatativos); también se clasifican en simétricos y no simétricos respecto al cero.

Los niveles de cuantificación se eligen en función de la aplicación y del receptor. Si por ejemplo la señal es de voz, para lograr inteligibilidad basta usar 256 niveles de cuantificación.

El siguiente paso en muchos casos es convertir la señal en binaria con lo cual M=2n. Es decir por cada muestra que se toma cada ts, se deben transmitir n bits; por lo tanto esto equivale a tener una frecuencia de muestreo más rápida (nfs) y por consiguiente u mayor ancho de banda.

El proceso de cuantificación genera una diferencia entre la señal original x(nts) y la cuantificada xq(nts). La medida de esta diferencia se llama error o ruido de cuantificación


Por eso se acostumbra calcular una relación señal a ruido de cuantificación dada por:

Donde

E[x2]=Potencia de Señal
 

E[e2]=Potencia del error o potencia de ruido de cuantificación.

La potencia de ruido de cuantificación se podría calcular como:

Sin embargo la fdp del ruido no se conoce, por lo que podemos referirla a la distribución probabilistica de la señal o mensaje x(t).Para facilitar el calculo se dividirá la integral en M intervalos resultando:


Si se ha elegido M suficientemente grande, se puede considerar que px(x) es constante dentro de cada subintervalo y por ende se puede sacar fuera de la integral. Además se hace en cada una el siguiente cambio de variable x(nts)-xk=y


Por lo tanto la relación señal a ruido de cuantificación resulta:


Se observa que si M crece (a disminuye) la relación señal a ruido crece

Ejemplo1: Determine la relación señal a ruido de cuantificación para un mensaje uniformemente distribuido entre ľA y A.

En primer lugar un mensaje uniformemente distribuido entre ľA y A, tiene

px(x) =1/2A

Por otra parte para un cuantificador uniforme de M niveles se cumpliría que

Si se codifica en binario M=2n


Por ejemplo cada bit adicional que se use producirá 6 dB de ganancia en relación señal a ruido.

Cuantificación no uniforme

Cuando la distribución probabilistica de x(t) no es uniforme sino que tiene mas bien preferencia por una cierta zona de voltaje, como el caso de las señales de voz, conviene usar cuantificadores no uniformes, es decir uno que tenga pasos mas estrechos en aquellas zonas de voltaje mas frecuentes y pasos mas grandes en zonas menos probables. Gráficamente:

Por ejemplo, el cuantificador mostrado convendría usarlo cuando la señal tiene preferencia de ocurrencia en los voltajes alrededor de cero.

En el caso de senales de voz esto es en efecto lo que ocurre.

Para estudiar el efecto que sobre la relación señal a ruido tiene el uso de un cuantificador no-uniforme, conviene modelarlo como un circuito no lineal que modifica las características de la señal seguido de un cuantificador uniforme:


Por supuesto que en el receptor hay que proveer de un sistema que haga el efecto inverso a la de c(t) vs. x(t)

Una curva c(t) versus x(t) podría ser:


Observe que esta curva expande los valores de bajo voltaje y comprime los de alto voltaje. Por esta razón se le llama compansor(compresor y expansor)

Veamos si esto mejora la relación señal a ruido. Para esto veremos el efecto sobre la potencia del ruido de cuantificación.

Habíamos encontrado que para cuantificación uniforme:

Pero ahora la señal se divide en intervalos que se llaman Dx


Si se usan suficientes niveles de cuantificación:

En el limite Dx tiende a dx y la sumatoria se convierte en integral:


Donde CI es el factor de perfeccionamiento de la compansión. Se desea que este sea mayor que la unidad de forma que su inverso reduzca le potencia del ruido.

Observe que si uno quiere maximizar ese factor (o minimizar su inverso), habrá que buscar una característica c(x) que dependerá de px(x)

Con este factor definido podemos ver que la relación señal a ruido con compansión resulta:

En telefonía persiguen además el objetivo de mantener el valor de relación señal a ruido para todos los rangos de voltaje de x mas o menos constante. En ese caso se deben hacer proporcionales los argumentos de ambas integrales


Esto ultimo además garantiza que cuando x=1 c=1

Como esta relación tiene discontinuidades en el origen, en la práctica se usan aproximaciones de ella. Existen las llamadas ley de compansión m (USA) y ley A(Europa) definidas como sigue:

Ley m:

 

La ley A en cambio: