La distribución de Poisson y el índice s 2 / m (varianza:media)
Definición

Como mencionamos anteriormente, un marco de referencia conveniente para estudiar el grado de agregación o uniformidad de una población está dado por la distribución de Poisson (Fig. 2). Es importante comprender la distinción entre distribuciones estadísticas y distribuciones espaciales. Las primeras corresponden estrictamente al conjunto de frecuencias de ocurrencias de una serie de eventos, mientras que las segundas se refieren al patrón de ubicación en el espacio de los individuos de una población. Las distribuciones estadísticas nos son útiles como marco de referencia para estudiar mediante comparación a las distribuciones espaciales, dado que seamos incapaces para trazar en un mapa la ubicación exacta de cada individuo.


Poisson
Figura 2: Representación gráfica de la distribución de frecuencias de una
Poisson con m=10 (n=100).

La distribución de Poisson tiene la siguiente forma matemática:

Distribución de Poisson

donde Px representa la probabilidad de ocurrencia de x individuos en una cuadrícula, m (mu) es la media poblacional del número de individuos en una cuadrícula, y e = 2,718282...

¿Cómo utilizar la distribución de Poisson para estudiar el grado de agregación o uniformidad de una población? Para entender el enfoque que se ha dado a este problema, veamos antes algunas características de la distribución de Poisson:

  • Está definida por un único parámetro (m), la media poblacional.

  • m = s 2, la media es igual a la varianza poblacional.

  • Es asimétrica, pero tiende a una distribución tipo normal a medida que aumenta la media.

Las dos primeras propiedades de la Poisson han llevado al enfoque tradicional, el cual plantea que si la media es igual a la varianza, entonces cabe esperar que la distribución de los individuos sea aleatoria. Esta idea llevó a la formulación del cociente s 2 / m (varianza:media) como un índice de agregación, y al mismo tiempo, como un índice de desviación de la Poisson. Esta idea parece conveniente en un principio, ya que tiene algunas propiedades deseables:

  • Es igual a 1 cuando la disposición espacial es aleatoria, definiendo aleatoriedad como que la distribución espacial observada se ajusta perfectamente a una Poisson;

  • Es igual a 0 cuando la varianza es nula, es decir, todas las cuadrículas contienen el mismo número de individuos, o en otras palabras, la disposición espacial es uniforme;

  • Alcanza su máximo valor cuando todos los individuos se sitúan en sólo una cuadrícula, dejando las restantes vacías, es decir, la agregación es máxima.

A partir de esta idea, se desarrolló una prueba estadística para evaluar si la desviación del cociente de la unidad es significativa, basado en la observación de que el índice, multiplicado por los grados de libertad asociados a su estimación, se distribuye según una chi- cuadrada. El estadístico de prueba c2 (n - 1) = s 2 / m (n - 1), es comparado con los valores tabulados de la distribución en una prueba de dos colas para un valor de significancia a con n - 1 grados de libertad: si el valor del estadístico es menor que el valor tabulado para P=a/2, se concluye que la disposición es uniforme, si es mayor que P=1-a/2, se concluye que es agregado, y en caso contrario, que no es significativamente diferente de una disposición aleatoria para un nivel de a.

Hasta los momentos parece algo sencillo estimar el patrón de disposición espacial de una población. Sin embargo, la aplicación de este método deja algunas preguntas sin responder: si el patrón obtenido es agregado, ¿a qué tipo de agregación corresponde? Como vimos anteriormente, existen grados de agregación, e igualmente existen tipos de agregación, cada uno con diferentes grados. En la aplicación tradicional de análisis para estudiar patrones de disposición espacial, el tipo y grado de agregación es estudiado mediante el ajuste a la distribución binomial negativa, que veremos en la próxima página.

A pesar de la sencillez del método, el índice varianza:media presenta algunos defectos importantes, los cuales han sido puntualizados convenientemente por Hurlbert (1990), y están relacionados a los requisitos mencionados en la página anterior:

En primer lugar, el desarrollo de este índice partió en un principio de la suposición de que la igualdad entre la media y la varianza es evidencia suficiente para suponer que las ocurrencias en las cuadrículas se distribuyen según una Poisson. Si bien es cierto que en esta distribución media y varianza son iguales, no existe ninguna razón para aceptar que la relación inversa es siempre cierta: pueden existir infinitas distribuciones teóricas en las cuales el índice sea igual a 1. Esto nos lleva a concluir necesariamente que el cociente no puede conceptualmente funcionar simultáneamente como un índice de agregación y como una medida de desviación de la Poisson.

En segundo lugar, no existe un concepto de agregación inherente al índice. Agregación es definida por la magnitud de la diferencia entre la varianza y la media, y esta magnitud es al mismo tiempo empleada para medir la agregación, lo cual nos lleva a un razonamiento circular. Esta carencia de concepto trae como consecuencia la ausencia de una escala sobre la cual sea posible comparar varias poblaciones según su grado de agregación: aunque los valores máximos y mínimos del índice son indicativos de máxima y mínima agregación, respectivamente, no existe ninguna relación entre los valores intermedios que permitan establecer con propiedad que una población es tanto más o menos agregada que otra.

Existen índices alternativos cuya utilidad para el estudio de la agregación ha sido demostrada sobre la base de que contienen implícito o explícito un concepto de agregación, ya que han sido desarrollados a partir de estos conceptos, y no a partir de suposiciones sobre una distribución teórica. El concepto de agregación inherente a los índices de Morisita y de Lloyd (Hurlbert, 1990) tiene un fundamento esencialmente ecológico: agregación se define como la probabilidad de encontrar un segundo individuo en una misma cuadrícula, con respecto a lo que cabría esperar sólo por azar, o como el grado de hacinamiento de individuos en una cuadrícula con relación a lo esperado en caso de que la disposición fuese aleatoria.

Pregunta

¿Por qué ambas definiciones de agregación se vinculan a los casos esperados dada una distribución aleatoria?

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Eladio Márquez. 2000.